تابع دیگاما و ثابت اویلر–مسکرونی

تابع دیگاما و ثابت اویلر–مسکرونی چیست و چه ارتباطی با تابع گاما و تابع هارمونیک دارند؟

در این جزوه، مسیر رسیدن به تابع سای یا دیگاما را قدم‌به‌قدم دنبال می‌کنیم. ابتدا از گسترش فاکتوریل و تابع گاما شروع می‌کنیم و با گرفتن لگاریتم و مشتق، ساختاری را به دست می‌آوریم که ارتباط میان فاکتوریل، تابع هارمونیک و ثابت اویلر–مسکرونی را آشکار می‌کند.

در ادامه می‌بینیم که اختلاف میان اعداد هارمونیک و لگاریتم طبیعی، در حد به یک مقدار ثابت میل می‌کند؛ همان عدد معروف γ یا ثابت اویلر–مسکرونی. جزوه علاوه بر تعریف این ثابت، به اویلر و مسکرونی و مقادیر تاریخی محاسبه‌شده برای آن نیز می‌پردازد.

سپس با استفاده از رابطه میان فاکتوریل و تابع گاما، به مشتق لگاریتم تابع گاما می‌رسیم و تابع سای یا دیگاما ψ(x) ظاهر می‌شود. به این ترتیب ارتباط میان تابع گاما، تابع هارمونیک، ثابت اویلر–مسکرونی و تابع دیگاما به صورت ریاضی مشخص می‌شود.

در بخش پایانی نیز رفتار تابع دیگاما به کمک نمودار بررسی می‌شود و نمودار مشتق‌های مرتبه اول، دوم و سوم آن در کنار یکدیگر نمایش داده شده‌اند.

این فایل PDF مکمل ویدیوی آموزشی «ثابت اویلر–مسکرونی و تابع سای از کجا اومده؟» در یوتیوب B-Logic است و برای دنبال کردن روابط، اثبات‌ها و مرور مرحله‌به‌مرحله آموزش طراحی شده است.

در این جزوه :

• ارتباط فاکتوریل و تابع گاما

• لگاریتم و مشتق تابع فاکتوریل

• ارتباط تابع هارمونیک با مشتق لگاریتم فاکتوریل

• تعریف ثابت اویلر–مسکرونی

• مقدار و تاریخچه ثابت اویلر–مسکرونی

• رسیدن از تابع گاما به تابع سای

• تعریف تابع دیگاما

• ارتباط تابع دیگاما، گاما و هارمونیک

• بررسی نمودار تابع دیگاما و مشتق‌های آن